Une aperçu des méthodes en géométrie élémentaire 1991

Résumé Dans la première partie de ce texte, Lucienne Félix étudie les éléments qui peuvent apparaître dans l’étude d’un quadrilatère convexe et les conditions d’inscriptibilité. Elle en tire dix démonstrations différentes du théorème de Ptolémée

Dans la deuxième partie elle nous livre ses réflexions sur ces dix démonstrations, sur leurs réciproques et sur leurs modes de démonstration. Elle conclut que certes la géométrie cartésienne permettrait de résoudre ce problème sans même avoir à s’interroger sur sa singularité, mais que l’étude de situations ou de théories particulières présente un grand intérêt, au moins didactique…  En s’appuyant sur une courte note historique la troisième partie dégage les éléments fondamentaux qui peuvent faire d’une collection de démonstrations une situation mathématique. L’auteur conclut : « Une évidence s’impose lorsqu’on fait l’effort de mise au point d’un texte mathématique : il y a un va-et-vient entre la technique qui exploite, par la logique, les propriétés de la situation mathématique proposée dans I’hypothèse et, d’autre part, I’appel à l’imagination qui, en confrontant les conclusions possibles aux hypothèse, trouve les voies à parcourir pour atteindre le but. L’Art dirige et complète la technique ».

Dans un deuxième texte très court, sur un autre problème de géométrie, l’auteur applique intégralement la même méthode d’étude des propriétés didactiques d’une situation mathématique et délivre quelques considérations didactiques plus lapidaires mais aussi judicieuses que percutantes.

Mots clés : Didactique des mathématiques, Géométrie élémentaire, théorème de Ptolémée,

Titre de l’ouvrage. Une aperçu des méthodes en géométrie élémentaire
auteur : Lucienne Félix
Préface de Guy Brousseau

Langue du texte Français
Nombre de pages : 75
Nature du texte Réflexions didactiques
Publication : Brochure de l’IREM de Bordeaux
Date de publication  1991
Référence  de la publication
Commentaires.
Cette étude est le résultat d’une discussion récurrente entre l’auteur et son préfacier sur la notion de situation mathématique. Lucienne Félix a voulu montrer les ressources didactiques de l’étude classique d’une « situation mathématique », au sens d’un ensemble d’objets et de relations mathématiques disponibles pour établir une formule donnée. Elle explicite les techniques et les commente en référence à des approches théoriques différentes et elle entame le débat sur les méthodes de choix disponibles à l’époque. Elle approche le point nodal du débat lorsqu’elle oppose la géométrie élémentaire et la géométrie euclidienne qui banalise la question du théorème de Ptolémée et sa solution : la justification du maintien d’un ensemble de questions et de moyens. L’autre partie du débat, celle où le préfacier devait montrer comment, à son sens, une situation devait aussi faire apparaître des raisons (ou des motifs) de s’intéresser à cette configuration de relations n’a pas été achevée. Peut-on construire un ensemble de conditions qui feront apparaître l’intérêt et la nécessité de s’assurer de la validité de cette relation…  Comment générer une filiation poïétique concevable par l’élève qui lui fasse envisager comme connaissances les éléments de savoir exposés dans ce texte ?
L’étude de Lucienne Félix était un nouveau point de départ dans un cheminement commencé de longue date et qui a tourné court…

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Du diagramme de Venn aux courbes de Peano, From Venn Diagrams to Peano Curves

article de Lucienne Félix (1970) et sa version Anglaise (sous l’onglet Lucienne Félix) From Venn Diagrams to Peano Curves  Des diagrammes de Venn  aux courbes de Peano  Lucienne Félix

publié en Anglais dans  » Mathematics Teaching, » the Bulletin of the Association of Teachers of Mathematics No. 50, Spring, 1970. et en Français, dans les Cahiers de l’enseignement élémentaire de l’IREM de Bordeaux n° 2   (1970)

Résumé .

Lucienne Félix commence par définir avec précision ce qu’elle appelle un Diagramme de Venn. Elle se réfère à la logique et précise qu’elle distinguera des « ensembles fondamentaux  et les ensembles engendrés par ces ensembles fondamentaux. Elle précise les conditions que doit satisfaire une représentation pour n ensembles fondamentaux. Il s’agit ensuite de déterminer une méthode qui permette de construire un diagramme de Venn comportant les régions déterminées par n+1 ensembles fondamentaux. Elle construit pour cela une ligne qui coupe en deux chacune des régions déterminées par les n ensembles générateurs. Elle construit une numérotation binaire des parties construites qui permettent de démontrer que cette ligne peut être fermée et qu’elle satisfait les conditions pour représenter les 2ⁿ⁺¹ parties engendrées par n+1 générateurs. La disposition obtenue est celle d’un « diagramme en pavage» qui envahit le plan, ou qui au contraire fragmente une figure en pavés semblables de plus en plus petits (rectangles, triangles…).

Lucienne Félix s’intéresse alors au même problème : partager en deux toutes les parties d’une figure de rang n par une ligne fermée, mais cette ligne ne génère pas le pavage suivant (dont le nombre des régions est 3ⁿ⁺¹). Cette ligne est une courbe de Peano qui, à la limite, atteint tous les points intérieurs de la figure de base.

Dans un dernier paragraphe Lucienne Félix met en perspective les contributions de Peano, de Hilbert et de Cantor à ce sujet.

Commentaire

Cet article est typique de ceux que les mathématiciens aiment faire à l’intention des professeurs :  une promenade agréable et un exemple d’aventures qu’ils suggéraient aux enseignants d’organiser en parcours similaires pour leurs élèves.

Il  est rappelé dans le dossier sur « les ensembles à l’école primaire et les avatars du diagramme de Venn ». Il montre sur quelles bases mathématiques reposaient les réflexions pédagogiques du genre de celles qui font l’objet de dossier.

Ce texte n’était pas directement lisible par des instituteurs et il n’apportait guère aux professeurs de mathématiques au collège que l’occasion de « faire un peu de mathématiques intéressantes ». Les indications pédagogiques qu’ils pouvaient en tirer se bornaient à voir le genre de dessins qui permettaient de représenter des ensembles, cependant il ne disait pas à quelle occasion – à moins de prendre le texte lui-même comme objet d’enseignement… !.

Pour lire ou télécharger Du diagramme de Venn aux courbes de Peano Du diagramme de Venn aux Courbes de Peano

To read or download From Venn Diagrams to Peano Curves from Venn Diagrams to Peano Curves

Quatre textes sur les mathématiques et leur enseignement

« Sur l’enseignement des mathématiques dans le second cycle du

secondaire »  (communication)

in  « Journées d’études  L’initiation aux mathématiques : problèmes psycho-pédagogiques ». Publié par le Ministère de l’Instruction Publique.

Journées pédagogiques franco-belge : 9 – 10 – 11  février  1959  Bruxelles  1959     lire ou télécharger  Sur l’enseignement des mathématiques dans le second cycle

« L’unité des mathématiques »

in  « International revue of éducation »  vol. VII  1961

Revue internationale de pédagogie (Congrès Montessori) n° 2  (pp. 165 – 173)    lire ou télécharger L’unité des mathématiques

« Modernisation de l’enseignement mathématique en France »

in  « Bulletin de la société Franco-japonaise des Sciences Pures et Appliquées » n° 17  août  1970 (pp. 50-73)     lire ou télécharger La Modernisation de l’enseignement mathématique en France

 » Henry Lebesgue, l’enseignement et la didactique des mathématiques »

manuscrit d’un texte non publié, 1990, 15 pages            lire ou télécharger  Henri Lebesgue, l’enseignement et la didactique des mathématiques