Erdos

O Erdosovi a matematickom svete.

Ked v roku 1996 zomrel matematik Paul Erdos, vsetky svetove noviny, vcetne The Times a Wall Street Journal, uverejnili nekrolog.  To sa v pripade vedca stalo hadam prvykrat v dejinach. 20 septembra bude tomu prave 11 rokov. Spomienkove clanky sa pisu pri okruhlych vyrociach.  Avsak Erdosovou najvacsou laskou boli prvocisla. Preto sa mi zdalo vhodne pockat na 11 vyrocie. Hoci Erdos urcite patril do desiatky najlepsich matematikov 20 storocia, noviny nepisali o nom  kvoli jeho matematickym vysledkom, ale kvoli jeho sposobu zivota. Ak by existovala sien slavy pre excentrikov, Erdos by bol do nej zvoleny ako prvy. Pritom nic nepredstieral, nestaral sa o svoj image. (Einstein sa stazoval, ze kvoli jeho slave sa vela ludi s nim chce porozpravat a tym ho pripravuju o cas. Jeho priatel mu navrhol jednoduche riesenie: Daj sa ostrihat.) Stastie mi doprialo stretnut sa a spolupracovat s Erdsom.  Preto v tomto clanku sa chcem podelit aj o moje spomienky na neho.    

Paul Erdos sa narodil 26 marca 1913 v Budapesti v zidovskej rodine dvoch stredoskolskych ucitelov matematiky. Ten den jeho dve sestry, 3 a 5 rocna, dostali sarlach a zomreli v priebehu 24 hodin. Hoci bol zazracne dieta, rodicia ho povazovali za najmenej nadaneho z troch  surodencov. Uz v troch rokoch ohuroval schopnostou vynasobit v hlave trojmiestne cisla; to vsak skor patri do cirkusu ako do matematiky. Casto s hrdostou spominal, ze vo veku 4 rokov sam "objavil" zaporne cisla a ako s nimi treba pocitat. To zasa ludstvu trvalo tisicrocia.  Pred univerzitou do skoly nikdy pravidelne nechodil, rodicia sa bali aby neochorel. Napriek tomu vo veku 20 rokov uz mal PhD. V tridsiatke  patril medzi najlepsich matematikov na svete a zostal nim az do konca zivota napriek vysokemu veku. Avsak Erdos bol vazeny a doslova uctievany v matematickej komunite hlavne kvoli niecomu inemu. Aby som  mohol vysvetlit dovody, pokusim sa najskor poopravit mylnu predstavu vacsiny verejnosti, aj tej s univerzitnym vzdelanim, o tom co su hodnoty a modus operandi matematickeho sveta.

Prva cast clanku: Erdos Matematik

Temer kazdy ma k matematike vyhraneny vztah, vacsina ludi  negativny, zvysni ju maju radi. V tom je matematika podobna bryndzovym haluskam. Neviem o cudzincovi, ktory by bol k nim neutralny. Napriek tomu temer vsetci povazuju matematiku za mrtvu vedu, kde uz vsetky vzorce a poucky su zname. Dobry matematik je ten kto vie rychlo vyriesit vsetky problemy zo zbierky uloh. Pravda je uplne inde. V dnesnej dobe sa matematika rozvija tak intenzivne ako nikdy predtym. Rocne sa v matematickych casopisoch uverejni vyse sto tisic novych theorem (="vzorcov a pouciek"). Kazdy novy vysledok sice zodpovie nejaku otazku, zaroven vsak nastoli  dva, tri nove.  Mnozstvo toho co nevieme sa stale zvacsuje. Na dobrej univerzite sa vyzaduje, aby ucitel pravidelne publikoval odborne clanky v poprednych vedeckych casopisoch. "Publish or perish", "Publikuj alebo zahyn".  A publikovat sa daju iba nove originalne theormy, popripade novy dokaz znameho vysledku. Ti najlepsi v matematike bud vyriesenia znamu  hypotezu, ktora odolavala usiliu matematikov po dlhu dobu alebo vyvinu novu teoriu ktora ovplyni vyvoj matematiky. Fermatova hypoteza bola vyriesena Wilesom iba po 350 rokoch. Tym si Wiles zabezpecil v matematike nesmrtelnost. Hypoteza o existencii nekonecneho poctu prvociselnych dvojciat caka na vyriesenie uz vyse 2000 rokov. V matematike sa velmi ceni aj schopnost sformulovat dobru otazku a  vyslovit hypotezu, co je spravna odpoved. Autor hypotezy ju nevie vyriesit ale zaujimava hypoteza sa stane stredobodom usilia mnohych matematikov.

Vyssie povedane sa da ilustrovat na paradajkach. Zrejme kazdy aspon raz okusil caprese, nakrajanu paradajku prekladanu s mozzarelou. Vacsina ludi ju zje bez filozofickych uvah. Vytvarni  umelci sa zamyslia, ci caprese inspirovalo rakusku vlajku. Matematik, schopny pozriet sa na bezne veci novym pohladom,  polozi otazku: V ktorej dedine vyrobcovia mozarelly vymysleli paradajky? Vyslovi hypotezu, ze meno dediny je Ristorante. Neskor sa ukaze, ze spravna odpoved bola Pomidore. Napriek tomu si vsetci budu pamatat, ze vytycil spravny smer vyskumu.

Pocet publikovanych prac je iba pomocnym kriteriom pri hodnoteni matematika, ale obycajne kvantita hovori nieco aj o kvalite. 99% matematikov, vratane tych najlepsich, uverejni za zivot do 100 vedeckych clankov. Erdos ich publikoval vyse 1500, so 450 spoluatormi. V ramci toho vznikla medzi matematikmi hra, ktoru niektori beru vazne. Kazdy, kto publikoval spolocny clanok s Erdosom ma Erdosovo cislo jedna. Ti, co maju clanok s niekym kto ma Erdosovo cislo jedna, maju Erdosovo cislo dva. Ak publikujete clanok s niekym kto ma Erdosovo cislo dva dostanete Erdosovo cislo tri, atd. Samozrejme, ciel je mat co najmensie Erdosovo cislo. Este ohromujucejsia bola sirka Erdosoveho zaberu. Matematika sa dnes deli na 40 zakladnych odborov, z ktorych ma kazdy mnoho pododborov. Napriklad, teoria cisiel, linearna algebra, kodovanie, atd. Vacsina ludi publikuje prace v dvoch, troch pododboroch jednej discipliny. Erdos publikoval clanky v 17-tich z danych 40 odborov. Ked to zistite, je lahke zostat skromny a neprecenit svoje schpnosti. Raz pri navsteve na univerzite v Texase Erdos sedel v katedrovom laungi. Na tabuli bola napisana theorema z funkcionaalnej analyzy. Bol to vysledok dvoch miestnych matematikov, ktori nam boli velmi hrdi.  Ich dokaz zabral 30 stran. Erdos nemal o danom odbore matematiky ziadne vedomosti. Zo zvedavosti si nechal vysvetlit, co symboly znamenaju. Zamyslel sa a o 15 minut napisal na tabulu dokaz, ktory mal dva riadky. Po niecom takom musite zacat verit na zazraky.

Je dane charakterom  matematiky, a obzvlast diskretnej matematiky, ktora bola jednym zo stredobodov Erdosovho zaujmu, ( a v ktorej pracujem aj ja), ze vedeckym prinosom moze byt aj kratkodoba intenzivna spolupraca na otvorenych problemoch. Preto sa matematici casto navstevuju a stretavaju na konferenciach. Tisice matematikov stravi 2-4 mesiace do roka cestovanim po celom svete; to je dane nadnarodnostou matematiky. Viac im ich univerzita (manzelka) nedovoli, aby sa prilis nenarusilo vyucovanie.  Pocas predoslych 12 mesaicov, ktore neboli moj sabbatical, som takto pobudol na vsetkych kontinentoch okrem Afriky. V mojom odbore je to uplne bezne. (Sabbatical, rok  plateneho volna, ktory univerzita udeli kazdy siedmy rok, aby ucitel mohol drzat krok s vyvojom jeho discipliny).

Nik sa vsak ani v tomto ohlade nemohol porovnat s Erdosom. Niektory rok Erdos travil cestovanim po konferenciach a navstevami univerzit 11 mesiacov v roku.  On si to mohol dovolit, lebo nemal ziadne stale zamestnanie.  Ale tymto ani staly prijem!  Medzi jednotlivymi pobytmi sa nevracal domov (do Budapesti), ako to robia vsetci ostatni, on isiel priamo z jednej univerzity na dalsiu, z jednej konferencie na dalsie sympozium. Presunul sa dalej, ked uz po intelektualnej aj fyzickej stranke totalne vycerpal domacich. Trvalo mu to 3-14 dni. Erdos takto navstivil 25 krajin. Mal 163 cm, 50 kil, a navonok vyzeral vetcho a chorlavo. Nedalo sa tusit odkial na to berie energiu. Vacsinu ludi by zabilo uz samotne cestovanie, ktore on absolvoval bez najmensich tazkosti. Vzdy bolo niekolko univerzit kde ho vdacne privitali ohlaseneho na poslednu chvilu. Najlepsi sposob presvedcit ho aby prisiel k Vam bolo zatelefonovat mu a povedat ake ciastocne vysledky mate pri rieseni doleziteho problemu. Vyska ponukaneho honoraru nehrala nikdy ziadnu rolu. Ludom nevadilo, ze mat Erdosa ako hosta znamenalo sa kompletne sa o neho postarat; priviezt a odviezt ho na letisko,  starat sa o jeho jedlo, prat pradlo, balit mu kufor, ustlat mu postel. A postarat sa o financie na zaplatenie letenky, honoraru a hotelu alebo, co on uprednostnoval, si ho zobrat k sebe domov. Preco to tolko ludi bolo ochotnych robit, cim sa Erdos odplatil?

Erdos bol protipol vedeckej primadony. Pocas svojho pobytu bol ochotny spolupracovat s kazdym, ci uz uznavanym odbornikom alebo zacinajucim studentom. Bol k dispozicii tak dlho pokial dany clovek nevycerpal momentalne svoje napady alebo stacil sledovat jeho myslienky.  Hovoril o novych hypotezach, podelil sa so vsetkym, co o ich rieseni vedel. Jemu bolo jedno ci dany problem vyriesi on alebo ho niekto pred cielovou paskou predbehne a zoberie celu slavu. On chcel, aby sme sa dozvedeli pravdu. Vela ludi dostalo zamestnanie, definitivu, povysenie prave vdaka tomu, ze vyriesili  Erdosov problem, alebo mali Erdosovo cislo jedna. Z nasej strany v tom bol kus pragmatickeho "Publish or perish". Ale Erdos dokazal preniest na ludi aj svoju vasen k matematike. Nebol taborovy recnik, ktory strhne dav svojim prejavom. Hovoril tichym hlasom, ktory nikdy nezvysoval, so silnym prizvukom. Napriek tomu intelektualne elektrizoval okolie.  Pocas jeho navstevy to vrelo, kazdy venoval matematike viac hodin ako zvycajne.  Dal samozrejme prednasku. Hlavne vsak bol doslova 24 hodin denne pripraveny spolupracovat s miestnymi ludmi. Nebol najmensi problem ho zobudit o 3-tej rano, a podelit sa s nim o najnovsi napad ako atakovat problem na ktorom ste prave spolupracovali.  Ihned zacal o tom premyslet a komentovat to.  Na druhej strane hostitel musel byt pripraveny, ze Erdos o 2-hej rano bez zaklopania vojde do jeho manzelskej spalne a zacne mu zdelovat svoj napad. On sa tvaril, ze v spalni nic ine ako matematika sa neda robit.

Erdos pracoval na mnohych problemoch paralelne. Preto potreboval vela spolupracovnikov a neustale hladal dalsich, nadanych ludi. To bol dovod preco cestoval. Jeho tempu sa nedalo dlho stacit.  "Znicil" jednych, a isiel dalej.  Ak si pri praci protreboval overit matematicky udaj, ihned isiel telefonovat kompetentnemu clovekovi. Mal vynikajucu pamat, vedel stovky telefonnych cislel. Na namietku, ze na vychodnom pobrezi maju iba dve hodiny rano Erdos povedal: To je fajn, urcite bude doma. Vravieval, Ludvik XIV povedal: "Ja som stat", Trocky mohol povedat: "Ja som spolocnost", a ja hovorim:"Ja som realita".

Ako bolo vyssie spomenute, v matematike je velmi dolezite spravne polozit otazka, vytycit smer vyskumu.  Erdos bol v tom hadam najlepsi v dejinach. Nie je tazke sformulovat otazku, ktora je beznadejne tazka pre dnesnu uroven matematiky. Erdos mal schopnost formulovat hypotezy, ktore posuvali nase poznanie prave o tolko, co bolo v momentalnych silach. Erdos pripisoval k niektorym svojim hypotezam penazne odmeny za ich vyriesenie. Tym vlastne hovoril, ake su podla jeho nazoru tazke. Najvyssia odmena, zatial nevyzdvihnuta, je $3000. Upozornujem, ze pokus zivit sa riesenim Erdosovych problemov je ista cesta k smrti hladom.

V roku 1971 zomrela vo veku 91 Erdosova matka. Poslednych 7 rokov zivota ho sprevadzala na vsetkych cestach. Nemala cestovanie rada, po anglicky vedela iba par slov, ale chcela byt pri synovi. Erdos jej to oplacal laskou aku je iba malokedy vidiet u syna voci matke. Nikdy sa z jej smrti uplne nespamatal. Riesil to tym ze sa stal matematickym mnichom. Okrem matematiky ho uz zaujimalo malo veci; najviac svetova politika a rad pocuval vaznu hudbu. Hoci sa to zdalo nemozne, este vystupnoval pracovne tempo. Denne aktivne venoval matematike 19-20 hodin. To vsak aj on uz zvladal iba za pomoci amphetaminov. Takto zil doslova do posledneho dna svojho zivota.

           

Erdos mal svoj slovnik, ktory bol medzi matematikmi velmi dobre znamy. Spomeniem iba dve najslavnejsie frazy. Prva bola "My brain is open". Pouzival ju v momente, nez zacal s niekym pracovat na matematicke. Rad spominal historku, ked koncom 19-ho storocia dvaja ludia si sucasne vsimli, ze radioaktivny material zanecha stopy na fotografickej dosticke. Prvy vystrihal vedecku komunitu aby si takto neznehodonotili drahy fotograficky material (his brain was not open), a jeho meno si uz nikto nepamata. Druhy sa volal Rontgen. Erdos, ktory v mladosti taktiez prehliadol velky objav, tym chcel povedat, ze sa mu to uz nestane.

Druhou frazou bola "This is straight from The Book".  Erdos "veril" v existenciu Knihy, v ktorej su napisane vsetky jednoduche a elegantne dokazy matematickych teorem. Hovorieval, ze obcas nam Pan Boh (Erdos bol ateista) dovoli na chvilocku do nej nazriet. Tato fraza bola najvyssia pochvala aku sa dalo od Erdosa dostat. Pocas mojho pobytu na Simon Fraser University sme s Kathy Heinrich, ako vedlajsi produkt ineho badania, nasli novy dokaz malej Fermatovej vety. Tento dokaz bol "elementarny" v Erdosovom zmysle. Nezatelefonoval som Erdosovi o dokaze, lebo som chcel byt osobne pritom ked povie okridlenu frazu o Knihe. Pri najblizsom stretnuti ma pozorne vypocul a namiesto ocakavaneho povedal: Mne sa dokaz cez kongruencie paci viacej. To bol koniec mojej kratkej cesty ku slave. Dokaz bol sice publikovany v najcitanejsom matematickom casopise, American Math. Monthly, ale bola to mala naplast.

Erdos ako clovek a moje spomienky na neho

Uz z predoslej casti, v ktorej som pisal o Erdosovi matematikovi, bolo zrejme ze sa lisil od ostatnych. Nebolo to len tym, ze matematika bola pre neho ovela dolezitejsia ako vsetko ine. Prehnana starostlivost rodicov, ktoi sa bali aby neochorel,  mala za nasledok, ze Erdos si prvykrat sam uviazal topanky ked mal 11 rokov a namazal chleba vo veku 21. Tvrdil, ze ak by chcel, urcite by vedel uvarit caj a vajce na tvrdo. Nikdy to vsak neskusil. Hoci bol vynikajuci riesitel matematickych problemov, mal tazkosti pri rieseni beznych zivotnych situacii. Ralph Faudree spomina, ze pri jednej z Erdosovych navstev u nich sa spustila prudka burka. Erdos vosiel o 3-tej v noci do ich spalne a oznamil im, ze v jeho izbe sa voda leje dovnutra cez otvorene okno, a ze by s tym mali nieco robit.  Nikdy nepochopil, lebo sa mu nechcelo, ako sa spusti pracka. On nebol typ cloveka ktory nevie kolko stoji kilo chleba - on ani nevedel, kde sa chlieb kupuje. Zivot ho k tomu nedonutil. Presnejsie povedane, on nepripustil, aby ho ho zivot k tomu donutil. Skratka rydzy genius. Elegantny sposob ako to urobit, popisany vyssie, nie je pre beznych smrtelnikov. Ti si nanajvys dokazu urobit sluzku z manzelky. To bol zasa navod nepouzitelny pre Erdosa. Erdos  nemal sexualnu potrebu, a nikdy ani nemal ziaden vztah so zenou (aby nevzniklo nedorozumenie v dnesnej dobe je patricne dolozit, ze ani s muzom). Bolo mi luto, o co pri absencii sexualnej tuzby prichadza. Ak si vsak clovek uvedomi, coho vsetkeho bol vdaka tomu usetreny, potom nie je celkom jasne, kto ma koho lutovat.

V matematickej komunite sa velmi ceni zmysel pre humor, samozrejme intelektualny. Odbornemu pozorovaniu typu, citat z L+S:  "V Indii dodnes zomiera 40% ludi na sanskrit", sa dostane hlbokeho uznania. Mimochodom, som si isty, ze L+S nemohli mat v skole najmensi problem s matematikou. Erdos mal skvely zmysel pre humor, ale nebol komediant, ako povedzme John Conway z Princeton University, jeden z najlepsich zijucich matematikov. Na velkej medzinarodnej konferencii nam  Conway pocas svojej prednasky zdelil, ze v momente, ked dostal rozhodujuci napad na riesenie velmi doleziteho problemu v teorii kodovania, si lahol na chrbat na zem, dvihol ruky a nohy a radostne sa hihnal ako velmi spokojny kojenec.  Kedze si nebol isty, ci publikum si to vie dostatocne zivo predstavit, za vseobecneho nadsenia 400 pritomnych matematikov nam to nazorne predviedol. A to na zemi bolo iba linoleum.  Nieco take by sa nemohlo stat na kongrese lekarov. Preco potom si ludia myslia o matematikoch, a nie o lekaroch, ze su suchari?  Pravdu povediac, ani Erdos by take nieco neurobil. Dana forma aplikacie myslienok z Orbis Pictus mu bola cudzia.  Erdosov zmysel pre humor bol iny. Napriklad, raz  pocas svojej prednasky chcel citovat vysledok ineho matematika a povedal: Nemozem si momentalne spomenut na jeho meno ale urcite sa nevola Alzheimer. Netreba zdoraznovat, ze po tomto prehlaseni to v sale vrelo. Avsak aj jeho jemny zmysel pre humor niekedy zlyhal.  Pri jednej veceri sa ma pytal na Jima B., nasho spolocneho znameho zo Simon Fraser University. Tak som spomenul, ako Jima prisla navsitivit  na Vianoce svokra a doniesla mu pod stromcek dve kosele. Jim chcel mat doma pokoj. Preto si  nasledujuci den dal jednu z nich na seba. Svokra reagovala: A ta druha sa Ti nepaci? Vsetci pri stole sa smiali ale Erdos iba zavrcal: Ved si nemohol dat oba kosele odrazu ! Ak niekto nemal svokru,  bez ohladu na vysku jeho IQ mu iste veci ostanu natrvalo  utajene.

Erdosa som prvykrat stretol v roku 1980,  tesne po obhajeni vedeckej aspirantury. Erdos sa cestou do Budapesti zastavil na par hodin v Bratislave. Akademik Schwarz a moj skolitel profesor Znam ma prizvali aby som isiel s nimi na veceru. Erdos sa mi predstavil akoby bol uplne neznamy clovek, a nie hviezda najvacsej velkosti. Ja som si s nim potriasol rukou. To  bol moj jediny prispevok ku zaujimavemu rozhovoru pri stole.  Pocas celej vecere som strnulo sedel a dbal iba o to, aby mi od napatia nezabehlo pri jedle. Zhodou okolnosti, za kratky cas, Erdos prisiel do Bratislavy znova. Tentokrat som mal moznost s nim pobudnut sam par hodin. Znova sa mi predstavil. Po vzoru nasej narodnej tradicie som sa citil ukrivdeny a dal som to aj na javo.  Ved sme sa zoznamili pred 6 tyzdnami a ja som pri tom stretnuti nevyrobil ziadne faux pas. To si predsa  musel vsimnut. On sa mi ospravedlnoval, ze stretava tolko ludi, ze si vsetkych nemoze pamatat. Bolo zrejme, ze ak ho chcem naucit moje meno, bude treba zabudnut na tradicie, a miesto stazovania sa na osud zacat usilovne robit.  Cely zvysok rozhovoru uz patril matematike. Erdos sa ma pytal na akych matematickych otazkach  pracujem, ale hlavne hovoril o hypotezach, ktore on  sformuloval a povazoval za dolezite vyriesit. Podla mojich otazok a komentarov uberal alebo pridaval na obtiaznosti. Otukaval, ako daleko moze zajst. To bola dalsia vlastnost ktorou bol vychyreny; presne odhadnut schopnosti inych.

Mal som velke stastie a v priebehu roka, po vynalozeni velkeho usilia, sa mi podarilo vyriesit tri z hypotez, ktore pri danom rozhovore Erdos spomenul. To zaroven vyriesilo aj problem aby si Erdos zapamatal moje meno. Po kratsej dobe som bol pozvany na svoj prvy pobyt v Severnej Amerike. Nebolo nic lepsie ako sa tam uviset prednaskou o rieseni Erdosovych problemov. Este pocas tohto pobytu som dostal pozvanie predniest danu prednasku na dalsich dvoch univerzitach v Canade. Dvere do sveta sa mi zacali vdaka Erdosovi otvarat. Riesenie Erdosovych problemov malo aj nematematicke dosledky. Pocas mojho dalsieho dlhodobeho pobytu v USA som sa rozhodol splnit si pubertalny sen pozriet sa na Havajske ostrovy. Cielom pobytu bolo overit, ci  Havajskym devam, odetym v style hore bez dole suknicka z listia, to listie v jeseni opada.  Vyskum zlyhal ale Havajske ostrovy mi pocarili. Chcel som sa tam vratit ale uz nie ako turista. Pre mna jedine schodna cesta bolo dostat miesto na University of Hawaii v Honolulu. Podarilo sa mi to len preto, lebo som netusil, ze sposob ako som na to isiel, nema nadej na uspech. Tak ako Fidel Castro isiel na lodi Granma s 80 spolubojovnikmi a 60 puskami dobyt Kubu. Tiez mu to vyslo len preto, ze si neuvedomoval, ze s danou posadkou nema najmensiu sancu vyhrat. Neznaly veci, ako to chodi vo velkom matematickom svete, som zobral telefonny zoznam, a ohlasil sa u veduceho katedry matematiky.  Po potriaseni ruk som povedal, ze som vyriesil tri Erdosove problemy a ci mozem u nich dostal miesto visiting profesora. Erdosovo meno zabralo, a odvtedy som uz na University of Hawaii stravil dohromady vyse roka.  Netvrdim, ze tieto pobyty dramaticky prispeli k mojmu odbornemu rastu. Nie kazdy je imunny ako Erdos voci ludskym slabostiam.

V roku 1994 som mal Erdosa doma na navsteve tri dni. Dlhsie som ho viacmenej sam nedokazal intelektualne utiahnut. Prisli sme k nam o 11-tej vecer. Po prichode si umyl ruky, robil to denne aspon 10 krat a prehlasil okridlene "My brain is open". Ja som zacal okato zivat a chcel odlozit pracu na rano. Erdos si to nevsimal a zacal mi vysvetlovat matematicky problem. Okolo druhej rano som si isiel dat studenu sprchu. Stastie stalo pri mne a ja som priamo pod sprchou dostal napad, ktory viedol k rieseniu problemu.  Vdaka tomu som o pol hodiny bol v posteli. Zialbohu trik so sprchou uz nikdy viac nefungoval. Druhy den o 6-tej Erdos chodil po kuchyni a robil "nenapadne" hluk. Chvilu ho manzelka zamestnala ranajkami ale potom som uz musel celit realite. Poobede mal Erdos prednasku a po nej nas  viacero islo s nim na veceru. To mi pomohlo, cloveku ktory celu zivot intenzivne sportuje, pozbierat energiu, aby som stacil vetchemu clovekovi starsiemu o do mna o 40 rokov.  Posledny den Erdos odchadzal ihned po obede. Dovtedy sme samozrejme pracovali. Pytal som sa ho, ci sa chce prv najest alebo zabalit veci. Uprednostnil jedlo. Potom ma poziadal, aby som mu zbalil kufor. Po jeho odchode som vysledky nasej prace som spisal do formy clanku. V tej dobe som uz mal Erdosovo cislo jedna, ale to mohol byt clanok, na ktorom by sme boli jedini dvaja spoluatori. Coskoro sa vsak ukazalo, ze velmi podobne vysledky boli nedavno zverejnene niekym inym, a nedavalo zmysel publikovat nas clanok.

Vyuzil som Erdosovu navstevu u nas aj na nematematicke debaty. Seley, ktory prvy popisal stres ako fyziologicky jav, a je po nom nazvana univerzita v Komarne, v jednej svojej knihe napisal: "Spevak popularnej hudby chce uznanie davu. A cim vacsi je dav, tym lepsie. Avsak vedec chce uznanie piatich ludi, a samozrejme vie ich mena". Vystiznejsie to  ani nejde sformulovat. Povedal som to Erdosovi a spytal sa ho, kto je na jeho zozname PIATICH. On vyhybavo odpovedal, ze ho tesi uznanie kazdeho dobreho matematika. Ja som vsak chcel poriadnu odpoved.  Erdos to po chvili vzdal a povedal: To vobec nie je dolezite. Zalezi jedine na tom, ci si ludia budu pamatat moje matematicke vysledky aj po 500 rokoch.V tej chvili som si jasne uvedomil jednu vec. Erdos bol  jediny medzi mojmi  znamymi,  ktory opravnene moze mat takuto ambiciu. On zrejme videl matematiku aj ako cestu k nesmrtelnosti.  Napokon, vela ludom sa to cez matematiku  podarilo. Vsetci pozname meno Phytagoras. Meno ministra prace, rodiny a socialnych veci zo starych Athen si nepamata nikto.

Na mojom zozname PIATICH bolo v tom case Erdosovo meno pat krat. Preto nasledujuce povazujem za najvacsie ocenenie v mojom matematickom zivote. V roku 1995 som sa stretol s Erdosom posledny krat. Bolo to na konferencii v Prahe. On uz velmi nechodil na prednasky, a vacsinu casu stravil na chodbe pred prednaskovou miestnostou pri praci na otvorenych problemoch s inymi matematikmi. Ked som uz stal pri tabuli, pripraveny predniest moj prispevok, jeden z organizatorov konferencie poprosil o chvilu strpenia a povedal: Profesor Erdos ma poziadal aby som ho zavolal na Horakovu prednasku. Cela konferencia pockala nez sa Erdos, v tom case 82 rocny, pomalym, a neistym krokom presunul z chodby do saly. Prednasku som ukoncil formulaciou hypotezy o znamom invariante. Na to Erdos poznamenal: Budem o tom probleme premyslat. To uz bola cukrova poleva na mojej najkrajsej torte.

Erdos hovoril, ze majetok je na obtiaz. A podla toho sa aj spraval. Cele jeho osobne vlastnictvo sa voslo do kufrika s ktorym cestoval po svete. Bolo v nom par suprav spodneho pradla, pyzama, par kosiel, vsetko rucne site a z praveho hodvabu. Kvoli nediagnostikovanej koznej chorobe Erdos nenosil nic ine. Okrem toho sveter  a zvysok kufra zaplnala odborna literatura.Mal jedny sandaly a kvoli plochym noham a slabym slacham aj vysoke snurovacie rucne site topanky, modne v roku 1935.  Nosil vzdy oblek, a obcas miesto kosle pyzamovy vrsok. Poslednych 30 rokov Erdosov jediny isty prijem bol mala suma, ktoru dostaval ako clen Madarskej akademie vied  v case ked sa zdrziaval v Budapesti. Vtedy byval v hostovskej izbe akademie. Do ich bytu po smrti matky uz v podstate nechodil. Temer vsetky peniaze, ktore dostal ako honorare za prednasky po celom svete alebo rozne ceny, rozdal. Ci uz na charitu, alebo malej rozhlasovej stanici vysielajucej vaznu hudbu, ktora stala pred bankrotom, na podporu lekarskeho vyskumu, nadanym studentom, ktori mali financne problemy, atd. Nikdy neobiesiel bezdomovca bez toho aby mu dal nejake peniaze.  Ked dostal prestiznu Wolfovu cenu, ktorej sucastou je $50,000, nechal si iba $720 a zvysok dal do nadacie pre studentov. Bol hlboko ludsky, a stale myslel na dobro mladych ludi. Po precitani popularneho clanoku o sebe povedal autorovi, ze nemal spomenut jeho bratie Benzedrinu. Konstatoval, ze je to sice pravda, ale nechce aby mladi ludia, ktori idu do matematiky, si mysleli ze musia brat drogy ak chcu uspiet. Mal velmi rad male deti. Casto sa pri nich pristavil a ukazoval im jednoduce triky s mincou. Zvlastnu naklonost mal k mimoriadne nadanym detom. Braval ich na obed o hovoril s nimi o matematike. Pocas Erdosovej navstevy u nas som bezal do nemocnice, kde zobrali mojho syna po uraze oka pri basketbale. O rok, ked som na to uz celkom zabudol, sa ma Erdos pytal, ci  je synov zrak v poriadku.

Erdos nedbal na svetske statky, avsak co sa tyka osobnej slobody a slobody nazoru bol neustupny. Po kolapse Madarskej republiky rad, ked bol jeho otec este stale v sovietskom zajati, sa jeho matka obavala protizidovskych represii. Navrhla synovi aby sa dali pokrstit. Hoci mal Erdos iba sest rokov, povedal, aby urobila co uzna za vhodne, ale on ostane tym, cim sa narodil. Vela univerzit by sa rado pysilo tym, ze Erdos patri medzi jej profesorov. Kvoli tomu boli ochotni k velkym ustupkom. Najdalej zasla Notre Dame. Ponukli mu stale miesto u nich s tym, ze vzdy bude v zalohe pripraveny iny matematik, pre pripad ak dostane pocas ucenia matematicky napad a bude chciet odist z triedy Aj to sa vsak Erdosvi zdalo velke obmedzenie jeho slobody a ponuku odmietol napriek naliehaniu svojich priatelov. Nebol ochotny ku kompromisu ani pri jednani s uradmi. Hoci bol skutocne doma iba v Budapesti, do Madarska nevkrocil po dobu  viacerych rokov. To bol jeho forma protestu za to, ze neudelili viza niekolkym izraelskym matematekom a tak im znemoznili ucast na konferencii pri prilezitosti Erdosovych narodenin.

Erdos sa casto stazoval, ze je stary. Nebal sa smrti, jeho obava bola, ze vekom sa zmensia jeho matematicke schopnosti, ze doslova ohlupne. Ked sa jeho zdravie zacalo  zhorsovat bral ze to ide s vekom. Raz mu padli okuliare na zem tak, ze jedno sklo sa rozbilo. On si ich opatovne nasadil a povedal: Na to oko uz aj tak nevidim. Problem s danym okom donutil Erdosovych priatelov jednat za neho. Zariadili, ze v univerzitnej nemocnici v Memphise mu bude transplantovana rohovka. Pred operaciou doktor Erdosovi podrobne vysvetlil proceduru, ktora trva asi dve hodiny. Erdos sa doktora opytal, ci bude moct citat. Samozrejme, odpovedal doktor; ved to bol zmysel operacie. Ked v operacnej miestnosti stisili svetla, Erdos bol vyvedeny z miery a pytal sa preco to urobili. Chirurg vysvetloval, ze iba takto moze operovat. "Ale ved ste mi slubil, ze budem moct citat", namietal Erdos. "Iba jedno oko budem mat umrtvene, preco s tym druhym nemozem pozerat  matematicky casopis?" Ked nebol ochotny ustupit, chirurg na hranici zufalstva telefonoval na katedru matematiky aby okamzite poslali niekoho kto sa bude s Erdosom pocas operacie rozpravat o matematike.

Erdosovo srdce nebolo na tom ovela lepsie. Chip Ordman spomina ako prisiel Erdosa navstivit do nemocnice v Budapesti, kde lezal po mensom infarkte.  Do tejto nemocnice ho prelozili, lebo v povodnej nemali dost velku izbu aby sa tam zmestili vsetci navstevnici.  Vsade po izbe, aj v posteli boli stohy matematickych casopisov a clankov. Erdos simultanne pracoval na matematickom probleme s troma skupinami ludi. S jednymi sa rozpraval po madarsky, s dalsou po nemecky a s poslednou po anglicky. Zaroven konverzoval s navstevou. Do tohto blazinca vosiel lekar. Erdos ho razne poziadal aby prisiel o par hodin, lebo predsa vidi ze teraz pracuje. Lekar bez slova uposluchol. V juni 1996, par mesiacov pred smrtou, Erdos odpadol v momente, ked pocas konferencie v USA kladol otazku prednasatelovi. Este v to doobedie voperovali Erdosovi pacemaker.  Vecer uz bol Erdos na konferencnom bankete. Po kazdej strane mu sedel srdcovy chirurg. Erdos vstal, jemne sa uklonil a povedal: A teraz dovolte aby som dokoncil otazku.

Moj priatel Zsolt Tuza z Madarskej Akademie vied, bol posledny kto videl Erdosa ziveho. Bolo to pocas konferencie vo Varsave. Po veceri isiel odprevadit Erdosa na izbu a ustlal mu postel. Erdos navrhol aby si sadli a robili este chvilu matematiku. Tuza sa ospravedlnil Pali bacimu, ze je uz neskoro, ze je unaveny; bol o 40 rokov mladsi ako Erdos. Povedal, ze mozu pokracovat    rano.  Erdos v noci zatelefonoval na recepciu, ze sa citi zle. Pokial prisli na jeho izbu, bolo po nom. Jeho jedina obava sa nenaplnila. Doslova do poslednej chvile robil matematiku; skvelu matenatiku.

Pre nematematikov bol Erdos excentrikom. On pri pohlade zvonku asi tak skutocne vyzeral. Hemingway vravieval: "Blazni su len preto blazni, lebo nas je viacej".

PS. Moja manzelka, matematicka, polozila otazku, ci tento clanok nie je prislis dlhy. Vyslovila hypotezu ze ho nikto nedocita do konca.